曲率的概念及计算公式

时间：2010-12-20

平均曲率，这个定义描述了[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image352.gif[/img]AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image353.gif[/img]AB上切线变化的角度，为[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image354.gif[/img]AB弧长。A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image359.gif[/img]，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image360.gif[/img]。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361.gif[/img]
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、时，[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image371.gif[/img][img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image372.gif[/img]
2
、时，[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image373.gif[/img][img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image374.gif[/img]
3
再推导，因为[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362.gif[/img]，所以[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image378.gif[/img]，两边对[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image379.gif[/img]
下面将与[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362.gif[/img]
，即为曲率的计算公式。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image382.gif[/img]
3.5.3 曲率半径：
一般称为曲线在某一点的曲率半径。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image383.gif[/img]
几何意义（
应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image384.gif[/img]
解：由于：[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image385.gif[/img]
所以：，[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image386.gif[/img][img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image387.gif[/img]
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、时，[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image375.gif[/img]（令[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image376.gif[/img]）[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image377.gif[/img]x求导，得，推出[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image380.gif[/img]。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image381.gif[/img]ds代入公式中：[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361.gif[/img]T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。T5-30）
例：对于圆，。所以：圆周的曲率为[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image355.gif[/img]，是常数。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image356.gif[/img]
而直线上，所以[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image357.gif[/img]，即直线“不弯曲”。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image358.gif[/img]
对于一个点，如
3.5.2 计算公式的推导：
由于，所以要推导[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361.gif[/img]与[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362.gif[/img]ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）
因为，所以[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image363.gif[/img]。[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image364.gif[/img]
令，同时用[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image365.gif[/img]代替[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image366.gif[/img]得[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image367.gif[/img][img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image368.gif[/img]
所以或[img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image369.gif[/img][img]http://web.tongji.edu/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image370.gif[/img]
具体表示；