弹性并联机器人消减残余振动的研究
时间：2010-12-20
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用输入命令规划法和闭环控制法消减残余振动是两种常用方法。闭环控制法需要不断测量机器人的运动状态，从而控制其残余振动［1，2］，这类方法需要加入复杂的反馈控制系统，因而在应用中有一定难度，输入命令规划法［3，4］，则是构造弹性机器人的运动路径，并加以优化，从而使运动结束后的残余振动减小，但这种方法要在运动过程中实施，故对运动过程本身有一定的影响。对于弹性并联机器人［5］来说，冗余驱动显然可以用来抑制其运动结束后的残余振动，这就是本文采用的第一种方法；同时输入运动规划法可以有效地消减平台的弹性振动，减小输出运动误差，这便形成了本文的第二种方法。
1 弹性并联机器人的动力学方程及其残余振动
图1所示为一种3-RRR型的弹性平面并联机器人，它由一个平台和三条腿组成，所有关节均为转动副，其平台为刚性体，三条腿均为弹性杆。文献［5］采用KED方法建立了它的运动方程如下
（1） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103450.gif[/img]
式中：U∈R18×1——机器人弹性运动的系统坐标列阵；
M，K∈R18×18——机器人系统的质量和刚度矩阵；
P，Q∈R18×1——广义外力和刚体惯性力，而Q＝M[img]http://wanfangdata/qikan/periodical.Articles/jx/jx99/jx9901/image/U...gif[/img]r；
[img]http://wanfangdata/qikan/periodical.Articles/jx/jx99/jx9901/image/U...gif[/img]r——对应于U的刚体加速度列阵。
U由两部分组成，即：U＝［UTl，UTe］T，其中Ul＝（u11，…u15，u21，…，u25，u31，…u35）T为腿部的弹性运动，Ue＝（u1，u2，u3）T为由腿部弹性运动引起的平台弹性运动。
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/200871810369.gif[/img]
图1 机械人结构和系统坐标
当一个运动过程结束后，机器人的刚体运动停止，但由于此时的弹性运动仍在继续，因此机器人不能精确定位，此时的弹性运动即称为残余振动。
机器人在残余振动时，由于，因此Q＝0，而且M、K保持恒定，这样，残余振动的方程可以写为[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103627.gif[/img]
（2） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103643.gif[/img]
对于并联机器人来说，输出运动为平台的运动，因此消减残余振动应首先考虑抑制平台的弹性运动Ue。
2 冗余驱动消减残余振动
由于图1所示的3-RRR型机器人自由度为3，故机器人需要3个驱动器，这3个驱动器加于Bi处，驱动力为Tθi（i＝1，3)。冗余驱动即在这3个驱动器之外再加上若干个冗余驱动器，通过规化冗余驱动器的输入力，可以实现优化目标，本文在Ai处加上3个冗余驱动器，驱动力为Tαi（i＝1，3），则
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103658.gif[/img]
规划Tαi，可以使Ue迅速消减，用Newmak逐步积分法求解式(2)的做法为
已知前一时刻的[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103710.gif[/img]，则当前时刻的U（t）可以由下式求出[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103721.gif[/img]
（3） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103736.gif[/img]
式中
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103820.gif[/img]
a0、a1、a2的意义见文献［6］。
取优化目标为
minf＝UTeUe （4）
将[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103846.gif[/img]
Ke，其中K1∈R15×18，Ke∈R3×18，即Ke是的下3行组成的矩阵，则[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718103935.gif[/img]
（5） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/200871810403.gif[/img]
故式(4)可写为
（6） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104024.gif[/img]
取
（7） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104041.gif[/img]
式中：kei——Ke的第i列。
K?e∈R3×3，则式(6)可化为
（8） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104057.gif[/img]
式中，Tα＝（Tα1，Tα2，Tα3)T，f取极小值的充分条件为f对Tα的导数为零，即
（9） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104126.gif[/img]
所以
（10） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104143.gif[/img]
将求出的Tα代入P中，可以通过式(3)求出当前时刻的Ue。
理论上讲，通过式(10)求出的Tα可以使Ue＝0，但这种做法极易使积分发散，因此在实际计算时，为了使积分收敛，可以取
（11） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/200871810422.gif[/img]
式中，k为一个系数，0k[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104229.jpg[/img]1，可根据需要选取。[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104229.jpg[/img]
通过数值例可以看到，冗余驱动能在很短的时间内平抑机器人的残余振动。
3 输入运动规划消减残余振动
当机器人运动结束后，也可以采用输入运动规划法降低其残余振动，输入运动规划法即给机器人加上一个附加的输入运动，使之产生的平台附加运动与其弹性运动互相抵消，从而得到预期的定位精度。
对于不带冗余驱动的机器人，其KED方程为
（12） [img]http://c-cnc/news/file/2008-7/200871810430.gif[/img]
加上附加的输入运动后，机器人系统中又有了[img]http://wanfangdata/qikan/periodical.Articles/jx/jx99/jx9901/image/U...gif[/img]r项，因此Q不为零。
设机器人输入位移为θ＝（θ1，θ2，θ3）T，输出位移为Se＝（Ex，Ey，β）T，对于输入位移变量δθ，可产生输出位移变量δSe＝（δEx，δEy，δβ）T，由于δSe相对Se来说是一个微小量，故可以由下式近似求得
δSe＝Jδθ （13）
式中：J——雅可比矩阵。
输入运动规划的目的是机器人输入位移中加上δθ，使其产生的δSe与Ue相互抵消，即
δSe＋Ue＝0 （14）
由于直接用式(14)求解δθ十分困难，因此本文将采用迭代法，求得δθ具体做法是：
(1)在给定时刻，由式(3)给出Ue(将式(3)中的P换成Q)；
(2)取δSe＝－Ue，则S′e＝Se＋δSe；
(3)由式(13)求出δθ，θ′＝θ＋δθ；
(4)将这个θ′带入机器人刚体运动方程求出新的M′，K′和U **r，在求解中采用近似法构造刚体速度和加速度，即
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104335.gif[/img]
将这些值代入式(3)中，求出新的Ue；
(5)取为平台的真实弹性运动，再取[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104350.gif[/img]，其中W为加权矩阵，判断是否成立(其中ε[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/200871810441.gif[/img]0为给定误差极值)，若不成立，则转(2)再次计算；若成立则结束计算，取这时的δθ为输入运动附加值，可转入下一时刻的运算。
由数值例的求解得知，该方法可以得到满足精度要求的结果。其优点是无需改动机器人的结构，缺点是为了使平台保持相对静止，其腿部必须做附加运动，而且附加运动δθ随时间衰减较慢。
4 数值例
取一弹性平面并联机器人结构参数同文献［5］中数值例，以平台上E点坐标（Ex，Ey)和平台转角β表示机器人的名义运动，取其名义运动为
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104425.gif[/img]
则自由状态的机器人平台振动如图2所示，其中时间在t＞π／5范围内的部分为其残余振动。
(1)冗余驱动消减残余振动
当t＞π／5时，刚体运动结束，机器人用冗余驱动减残余振动，其平台振动和应加的冗余驱动力如图3、图4所示。
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104441.gif[/img]
图2 自由状态的平台余振
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104456.gif[/img]
图3 带冗余驱动的平台振动
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104514.gif[/img]
图4 冗余驱动器的驱动力
(2)输入运动规划消减残余振动
当t＞π／5时，机器人采用输入运动规划法消减残余振动。
取W为单位矩阵，ε0＝10－6，则平台的弹性振动εe和应加的附加输入位移如图5、图6所示。
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104533.gif[/img]
图5 带输入运动规化的平台振动
[img]http://c-cnc/news/file/2008-7/2008718104549.gif[/img]
图6 附加的输入运动
5 结论
本文分别采用冗余驱动和预加输入运动法，降低了弹性平面并联机器人平台的残余振动。这两种方法计算简单、有效。在降低残余振动方面，冗余驱动法和输入运动规划法有本质上的区别。冗余驱动法是直接抑制平台的残余弹性振动，输入运动规划法则没有直接抑制平台的振动，而是以腿部的附加运动换取了平台的相对静止，二者各有千秋，可以根据具体任务选择不同的方法。